From e2309b1ddac4dbf662cb4846a8fff07f2729190f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: hanyixuanten <hanyixuanten@outlook.com>
Date: Wed, 2 Jul 2025 19:47:18 +0800
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 静电学.md | 24 +++++++++++++++++++++---
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index 6a76cc5..5d8edfb 100644
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+++ b/静电学.md
@@ -155,16 +155,34 @@ $$
 
 ### 1.5 电势能
 
-库仑力是一个保守力，点电荷之间的相互作用力所对应的势能为
+因为库仑力是一个保守力[^5]，我们可知库仑力做功的多少为电势能的减小量。定义无穷远处为零势能面，假设我们将一个点电荷从无穷远处移到当前所在位置，即可求出点电荷之间的相互作用力所对应的势能为
 
 $$
-W = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{r} \tag{4}
+W = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int^\infty_{r_0} \frac{q_1q_2}{r^2} dr = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{r_{12}} \tag{4}
+$$
+
+故可定义点电荷在空间中某处的[电势](#22-电势)
+
+$$
+\phi = \frac{W}{q_2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}
 $$
 
 若有多个点电荷组成的系统，则系统的总势能为
 
 $$
-W = \Sigma_{i \lt j} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_iq_j}{}
+W = \Sigma_{i \lt j} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_iq_j}{r^2_{i,j}} = \frac{1}{2}\Sigma_{i \neq j} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_iq_j}{r^2_{i,j}}
+$$
+
+电势是以能量形式存储在电场中的，若空间中的电场强度为 $E$，考虑电场中的一个微小的面元，不难发现它单位面积收到的作用力为 $\frac{\varepsilon_0}{2}(E_2^2-E_1^2)$，再结合虚功原理，可以得到单位体积的电势能（即能量密度）为
+
+$$
+u = \frac{\varepsilon_0}{2}E^2
+$$
+
+系统的总电势能可以写成
+
+$$
+W = \iiint \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} dx\ dy\ dz
 $$
 
 ##