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solutions/P17437.md

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 ::::success[证明]
+设全局最优中位数为 $y$。任何切法的中位数都不可能超过 $y$，所以只要证明：总有一种候选切法能使中位数达到 $y$。
 
-设全局最优三块权值排序为 $x\le y\le z$，其中 $y$ 就是最优中位数。注意以下论证不依赖权值非负。
+分两类看最优切法。
 
-记第一刀切出的一侧为 $A$，另一侧为 $B$。若第二刀在 $A$ 内切出块 $a$，三块为 $a,A-a,B$；若在 $B$ 内切出块 $b$，三块为 $A,b,B-b$。由定义，对 $A$ 内任意可切块 $a$ 有 $dmin_A\le a\le dmax_A$；对 $B$ 内任意可切块 $b$ 有 $umin_B\le b\le umax_B$。
+**两个切点互不为祖先。**  
+三块是两棵互不相交的子树和剩下的补集。若中位块是某棵子树，就把这棵子树作为第一刀，另一侧用最小或最大可切值切出另一棵子树，使另外两块分别落在 $y$ 的两边，中位数仍是 $y$。若中位块是补集，就取权值不小于 $y$ 的那棵子树作第一刀，再在另一侧切出剩下的子树，同样能让中位数达到 $y$。
 
-分两类讨论：
+**两个切点有祖先关系。**  
-
+三块是祖先外侧、中间夹层、后代子树。若中位块是后代，就取后代边作第一刀，在另一侧切出祖先外侧，用最小或最大可切值把中间夹层推到 $y$ 的另一边。若中位块是祖先外侧，就取祖先边作第一刀，在子树侧切出后代，同理。若中位块是中间夹层，则外侧和后代一个不大于 $y$、一个不小于 $y$，此时无论取祖先边还是后代边作第一刀，再在另一侧取合适的极值，都能让三块中至少两块不小于 $y$、至少两块不大于 $y$，中位数仍为 $y$。
-1. **两个切点互不为祖先**。设两棵互不相交的子树为 $Q,R$，补集为 $P$，权和分别为 $p,q,r$。
-   - 若中位块是某棵子树（例如 $Q$，此时 $q=y$），取切出 $Q$ 的边为第一刀，则 $A=Q=y$，$B=P+R$，第二刀在 $B$ 内切出 $R$。若 $r\le y$，取 $umin_B\le r\le y$，则 $B-umin_B\ge B-r=P\ge y$，中位数为 $y$；若 $r\ge y$，取 $umax_B\ge r\ge y$，则 $B-umax_B\le P\le y$，中位数仍为 $y$。
-   - 若中位块是补集 $P$（此时 $p=y$），$q,r$ 一个不大于 $y$、一个不小于 $y$。取权值不小于 $y$ 的那棵子树对应的边为第一刀（不妨设为 $R$，则 $A=R\ge y$，$B=P+Q$），第二刀在 $B$ 内切出 $Q$。取 $umin_B\le q\le y$，则 $B-umin_B\ge B-q=P=y$，三块中位数不小于 $y$，由全局最优性为 $y$。
-
-2. **两个切点有祖先关系**。设祖先边切出 $U$，后代边在 $U$ 内切出 $V$，三块为 $P=T\setminus U$、$Q=U\setminus V$、$R=V$，权和为 $p,q,r$。
-   - 若中位块是 $R$（$r=y$），取后代边为第一刀，$A=R=y$，$B=P+Q$，第二刀在 $B$ 内切出 $P$。若 $p\le y$，取 $umin_B\le p\le y$，则 $B-umin_B\ge Q\ge y$；若 $p\ge y$，取 $umax_B\ge p\ge y$，则 $B-umax_B\le Q\le y$。中位数为 $y$。
-   - 若中位块是 $P$（$p=y$），取祖先边为第一刀，$A=Q+R$，$B=P=y$，第二刀在 $A$ 内切出 $R$。若 $r\le y$，取 $dmin_A\le r\le y$，则 $A-dmin_A\ge Q\ge y$；若 $r\ge y$，取 $dmax_A\ge r\ge y$，则 $A-dmax_A\le Q\le y$。中位数为 $y$。
-   - 若中位块是 $Q$（$q=y$），则 $p,r$ 一个不大于 $y$、一个不小于 $y$。若 $r\le y\le p$，取祖先边为第一刀，$A=Q+R$，$B=P$，第二刀在 $A$ 内切出 $R$，取 $dmin_A\le r\le y$，则 $A-dmin_A\ge Q=y$ 且 $B=P\ge y$，中位数不小于 $y$，故为 $y$；若 $p\le y\le r$，取后代边为第一刀，$A=R$，$B=P+Q$，第二刀在 $B$ 内切出 $P$，取 $umin_B\le p\le y$，则 $B-umin_B\ge Q=y$ 且 $A=R\ge y$，中位数亦为 $y$。
-
-综上，全局最优中位数总可由“枚举一条边作为第一刀，再在另一侧取 $dmin/dmax$ 或 $umin/umax$”的四类候选之一达到。故最终枚举第一刀并检查四类候选即可。
 
+所以，全局最优中位数一定能在“枚举第一刀，另一侧取 $dmin/dmax$ 或 $umin/umax$”这四类候选中出现。最终枚举第一刀并检查四类候选即可。
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 ## 预处理子树最大、最小可切值
@@ -125,7 +118,7 @@ $$
 
 第二刀切出的 $a \in \{dmax_v, dmin_v\}$。
 
-三块分别为 $a, A - a, B$，答案为 $median(t, A-t, B)$。
+三块分别为 $a, A - a, B$，答案为 $median(a, A - a, B)$。
 
 ### 第二刀切在 $B$ 内部。
 
@@ -135,7 +128,7 @@ $$
 
 记录最大答案即可。
 
-::::info[code]
+::::success[code]
 
 ```cpp
 #include <bits/stdc++.h>
@@ -143,7 +136,6 @@ $$
 using namespace std;
 int n; // 5e5
 vector<int> fri[500005];
-int dep[500005];
 int fa[500005];
 long long sum[500005];
 long long dmin[500005], dmax[500005]; // down max / min
@@ -158,7 +150,6 @@ long long median(long long x, long long y, long long z) {
 }
 int noword;
 void dfs(int u) {
-    dep[u] = dep[fa[u]] + 1;
     ord[++noword] = u;
     for (int v : fri[u]) {
         if (v == fa[u]) continue;
@@ -251,4 +242,4 @@ signed main() {
 }
 ```
 
-::::
+::::