diff --git a/P16060.cpp b/P16060.cpp new file mode 100644 index 0000000..c05dba4 --- /dev/null +++ b/P16060.cpp @@ -0,0 +1,31 @@ +#include +using namespace std; +int n, N; +map changes; +int main() { + scanf("%d%d", &n, &N); + for (int i = 1, a; i <= n; ++i) + scanf("%d", &a), changes[a] = 1; + for (int i = 1; i * (N / (n + 1)) < N; i++) { + if (changes.find(i * (N / (n + 1))) != changes.end()) + changes[i * (N / (n + 1))] = 3; + else + changes[i * (N / (n + 1))] = 2; + } + changes[N] = 2; + int nowf = 0, nowg = 0; + long long ans = 0; + pair pre = {0, 0}; + for (pair now : changes) { + ans += abs(nowg - nowf) * (now.first - pre.first); + if (now.second == 1) + nowf++; + else if (now.second == 2) + nowg++; + else + nowf++, nowg++; + pre = now; + } + printf("%lld\n", ans); + return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/P16060.md b/P16060.md new file mode 100644 index 0000000..689bfbc --- /dev/null +++ b/P16060.md @@ -0,0 +1,147 @@ +# P16060 [CSPro 24] 序列查询新解 + +## 题目背景 + +洛谷的测试数据仅供民间交流使用，非官方测试数据。官方评测链接：。 + +## 题目描述 + +上一题“序列查询”中说道：$A = [A_0, A_1, A_2, \cdots, A_n]$ 是一个由 $n + 1$ 个 $[0, N)$ 范围内整数组成的序列，满足 $0 = A_0 < A_1 < A_2 < \cdots < A_n < N$。基于序列 $A$，对于 $[0, N)$ 范围内任意的整数 $x$，查询 $f(x)$ 定义为：序列 $A$ 中**小于等于** $x$ 的整数里**最大的数的下标**。 + +对于给定的序列 $A$ 和整数 $x$，查询 $f(x)$ 是一个很经典的问题，可以使用二分搜索在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内轻松解决。但在 IT 部门讨论如何实现这一功能时，小 P 同学提出了些新的想法。 + +小 P 同学认为，如果事先知道了序列 $A$ 中整数的分布情况，就能直接估计出其中小于等于 $x$ 的最大整数的大致位置。接着从这一估计位置开始线性查找，锁定 $f(x)$。如果估计得足够准确，线性查找的时间开销可能比二分查找算法更小。 + +比如说，如果 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 均匀分布在 $(0, N)$ 的区间，那么就可以估算出： + +$$ +\begin{aligned} +f(x) \approx \frac{(n + 1) \cdot x}{N} +\end{aligned} +$$ + +为了方便计算，小 P 首先定义了比例系数 $r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor$，其中 $\lfloor \rfloor$ 表示下取整，即 $r$ 等于 $N$ 除以 $n + 1$ 的商。进一步地，小 P 用 $g(x) = \lfloor \frac{x}{r} \rfloor$ 表示自己估算出的 $f(x)$ 的大小，这里同样使用了下取整来保证 $g(x)$ 是一个整数。 + +显然，对于任意的询问 $x \in [0, N)$，$g(x)$ 和 $f(x)$ 越接近则说明小 P 的估计越准确，后续进行线性查找的时间开销也越小。因此，小 P 用两者差的绝对值 $|g(x) - f(x)|$ 来表示处理询问 $x$ 时的误差。 + +为了整体评估小 P 同学提出的方法在序列 $A$ 上的表现，试计算： + +$$ +\begin{aligned} +error(A) = \sum_{i=0}^{N-1} |g(i) - f(i)| = |g(0) - f(0)| + \cdots + |g(N - 1) - f(N - 1)| +\end{aligned} +$$ + +## 输入格式 + +从标准输入读入数据。 + +输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $N$。 + +输入的第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数 $A_1, A_2, \cdots, A_n$。 + +注意 $A_0$ 固定为 $0$，因此输入数据中不包括 $A_0$。 + +## 输出格式 + +输出到标准输出。 + +仅输出一个整数，表示 $error(A)$ 的值。 + +## 输入输出样例 #1 + +### 输入 #1 + +``` +3 10 +2 5 8 +``` + +### 输出 #1 + +``` +5 +``` + +## 输入输出样例 #2 + +### 输入 #2 + +``` +9 10 +1 2 3 4 5 6 7 8 9 +``` + +### 输出 #2 + +``` +0 +``` + +## 输入输出样例 #3 + +### 输入 #3 + +``` +2 10 +1 3 +``` + +### 输出 #3 + +``` +6 +``` + +## 说明/提示 + +### 样例1解释 + +$A = [0, 2, 5, 8]$ + +$r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor = \lfloor \frac{10}{3+1} \rfloor = 2$ + +| $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| +| $f(i)$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | +| $g(i)$ | ^ | ^ | ^ | ^ | 2 | ^ | 3 | 3 | 4 | 4 | +| $\|g(i) - f(i)\|$ | ^ | ^ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | + +注：表格中空白单元格表示该行在该列无对应值（或为省略），实际计算时按需填充。根据题意，$g(i)$ 和 $|g(i)-f(i)|$ 应对所有 $i=0$ 到 $9$ 有定义，此处按原图结构保留空格，但完整计算应补全： + +- $g(0) = \lfloor 0/2 \rfloor = 0$, $|0-0|=0$ +- $g(1) = \lfloor 1/2 \rfloor = 0$, $|0-0|=0$ +- $g(2) = \lfloor 2/2 \rfloor = 1$, $|1-1|=0$ +- $g(3) = \lfloor 3/2 \rfloor = 1$, $|1-1|=0$ +- $g(4) = \lfloor 4/2 \rfloor = 2$, $|2-1|=1$ +- $g(5) = \lfloor 5/2 \rfloor = 2$, $|2-2|=0$ +- $g(6) = \lfloor 6/2 \rfloor = 3$, $|3-2|=1$ +- $g(7) = \lfloor 7/2 \rfloor = 3$, $|3-2|=1$ +- $g(8) = \lfloor 8/2 \rfloor = 4$, $|4-3|=1$ +- $g(9) = \lfloor 9/2 \rfloor = 4$, $|4-3|=1$ + +因此总和为：$0+0+0+0+1+0+1+1+1+1 = 5$ + +即 $error(A) = 5$ + +### 样例 3 解释 + +$A = [0, 1, 3]$ + +$r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor = \lfloor \frac{10}{2+1} \rfloor = 3$ + +| $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| +| $f(i)$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | +| $g(i)$ | ^ | ^ | ^ | ^ | 2 | ^ | 3 | 3 | 4 | 4 | +| $\|g(i) - f(i)\|$ | ^ | ^ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | + +### 子任务 + +$70\%$ 的测试数据满足 $1 \leq n \leq 200$ 且 $n < N \leq 1000$； + +全部的测试数据满足 $1 \leq n \leq 10^5$ 且 $n < N \leq 10^9$。 + +### 提示 + +需要注意，输入数据 $[A_1 \cdots A_n]$ 并不一定均匀分布在 $(0, N)$ 区间，因此总误差 $error(A)$ 可能很大。 \ No newline at end of file diff --git a/solutions/P16060.md b/solutions/P16060.md new file mode 100644 index 0000000..abcb70b --- /dev/null +++ b/solutions/P16060.md @@ -0,0 +1,79 @@ +# P16060 [CSPro 24] 序列查询新解 题解 + +## 75 pts 暴力 + +直接遵循题意使用 `lower_bound` 即可得到 75 pts + +::::info[[75 pts 代码](https://www.luogu.com.cn/record/303048871)] + +```cpp +#include +using namespace std; +int n, N; +int a[100005]; +int main() { + scanf("%d%d", &n, &N); + for (int i = 1; i <= n; ++i) { + scanf("%d", &a[i]); + } + long long ans = 0; + for (int i = 0; i <= N - 1; i++) { + int f = lower_bound(a, a + n + 1, i) - a; + while (a[f] <= i && f <= n) + f++; + f--; + int g = i / (N / (n + 1)); + ans += abs(f - g); + } + printf("%lld\n", ans); + return 0; +} +``` + +:::: + +## 100 pts 正解 + +注意到对于两个数 $a_i, a_{i + 1}$，$f(x) = i, x \in [a_i, a_{i + 1})$ + +且对于 $g$，只有 $i = k \times\frac{N}{(n + 1)}$ 的时候数值才会变化。 + +因此，统计 $f, g$ 分别变化的节点进行计算即可。 + +::::info[[100 pts 代码](https://www.luogu.com.cn/record/303064173)] + +```cpp +#include +using namespace std; +int n, N; +map changes; +int main() { + scanf("%d%d", &n, &N); + for (int i = 1, a; i <= n; ++i) + scanf("%d", &a), changes[a] = 1; + for (int i = 1; i * (N / (n + 1)) < N; i++) { + if (changes.find(i * (N / (n + 1))) != changes.end()) + changes[i * (N / (n + 1))] = 3; + else + changes[i * (N / (n + 1))] = 2; + } + changes[N] = 2; + int nowf = 0, nowg = 0; + long long ans = 0; + pair pre = {0, 0}; + for (pair now : changes) { + ans += abs(nowg - nowf) * (now.first - pre.first); + if (now.second == 1) + nowf++; + else if (now.second == 2) + nowg++; + else + nowf++, nowg++; + pre = now; + } + printf("%lld\n", ans); + return 0; +} +``` + +::::