new file: AT_agc013_e.cpp
This commit is contained in:
hanyixuanten
@@ -0,0 +1,98 @@
|
|||||||
|
#include <bits/stdc++.h>
|
||||||
|
using namespace std;
|
||||||
|
const int mod = 1e9 + 7;
|
||||||
|
int n, m;
|
||||||
|
int a[100005];
|
||||||
|
const long long fir[4][2] = {{0, 0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 1}};
|
||||||
|
const long long yes[4][4] = {{0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 2, 1, 0}, {0, 1, 1, 1}};
|
||||||
|
const long long no[4][4] = {{0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 1}, {0, 2, 1, 2}, {0, 1, 1, 2}};
|
||||||
|
struct Mat
|
||||||
|
{
|
||||||
|
long long a[5][5] = {};
|
||||||
|
int n, m;
|
||||||
|
Mat(int _n = 0, int _m = 0, int cpy = 0) : n(_n), m(_m)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (cpy == 1)
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
|
||||||
|
a[i][1] = fir[i][1];
|
||||||
|
else if (cpy == 2)
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= 3; ++j)
|
||||||
|
a[i][j] = yes[i][j];
|
||||||
|
else if (cpy == 3)
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= 3; ++j)
|
||||||
|
a[i][j] = no[i][j];
|
||||||
|
}
|
||||||
|
void operator*=(const Mat &b)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (m != b.n)
|
||||||
|
exit(-1);
|
||||||
|
long long res[5][5] = {};
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j)
|
||||||
|
for (int k = 1; k <= m; ++k)
|
||||||
|
res[i][j] = (res[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j)
|
||||||
|
a[i][j] = res[i][j];
|
||||||
|
m = b.m;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
Mat operator*(const Mat &b)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (m != b.n)
|
||||||
|
exit(-1);
|
||||||
|
Mat res(n, b.m);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j)
|
||||||
|
for (int k = 1; k <= m; ++k)
|
||||||
|
res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
|
||||||
|
return res;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
};
|
||||||
|
|
||||||
|
Mat qpow(Mat a, long long k)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
Mat res(a.n, a.n);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= a.n; ++i)
|
||||||
|
res.a[i][i] = 1;
|
||||||
|
while (k)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (k & 1)
|
||||||
|
res *= a;
|
||||||
|
a *= a;
|
||||||
|
k >>= 1;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
return res;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
Mat yess(3, 3, 2);
|
||||||
|
Mat noo(3, 3, 3);
|
||||||
|
|
||||||
|
int main()
|
||||||
|
{
|
||||||
|
scanf("%d%d", &n, &m);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= m; ++i)
|
||||||
|
scanf("%d", &a[i]);
|
||||||
|
Mat now(3, 1, 1);
|
||||||
|
int pos = 1;
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= m; ++i)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
int x = a[i];
|
||||||
|
if (x < pos)
|
||||||
|
continue;
|
||||||
|
if (x > pos)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
now = qpow(noo, x - pos) * now;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{
|
||||||
|
now = yess * now;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
pos = x + 1;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
if (n - pos > 0)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
now = qpow(noo, n - pos) * now;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
printf("%lld\n", now.a[3][1]);
|
||||||
|
return 0;
|
||||||
|
}
|
||||||
@@ -0,0 +1,266 @@
|
|||||||
|
# AT_agc013_e
|
||||||
|
|
||||||
|
[luoshunran](https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/14321537/)
|
||||||
|
|
||||||
|
## 20 pts O(n)
|
||||||
|
|
||||||
|
把正方形的交界处看作隔板，在每两个隔板之间放入一黑一白两个球，正方形的大小也就等于区间内放入两个球的方案数，正方形的面积的乘积就是所有的放球方案乘法原理乘起来。于是变成了求有多少种放隔板、放球的方案。
|
||||||
|
|
||||||
|
做 dp $f(i, 0/1/2)$，代表目前这个区间内放入了几个球的方案。
|
||||||
|
|
||||||
|
注意 $f(1, 1) = 2$
|
||||||
|
|
||||||
|
若 $i - i + 1$ 之间可以放隔板，
|
||||||
|
|
||||||
|
- $f(i+1, 0) = f(i, 0) + f(i, 2)$
|
||||||
|
- $ f(i+1, 1) = 2 * f(i, 0) + f(i, 1) + 2 * f(i, 2)$, 这里乘以 2 代表决策放入的是黑球还是白球
|
||||||
|
- $ f(i+1, 2) = f(i, 0) + f(i, 1) + 2 * f(i, 2) $
|
||||||
|
|
||||||
|
类似地，也可以列出不可以放隔板的情况。
|
||||||
|
|
||||||
|
- $f(i+1, 0) = f(i, 0)$
|
||||||
|
- $f(i+1, 1) = 2 * f(i, 0) + f(i, 1)$
|
||||||
|
- $f(i+1, 2) = f(i, 0) + f(i, 1) + f(i, 2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
```cpp
|
||||||
|
#include <bits/stdc++.h>
|
||||||
|
using namespace std;
|
||||||
|
const int mod = 1e9 + 7;
|
||||||
|
int n, m;
|
||||||
|
long long f[5000005][3];
|
||||||
|
int a[100005];
|
||||||
|
int main()
|
||||||
|
{
|
||||||
|
scanf("%d%d", &n, &m);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= m; ++i)
|
||||||
|
scanf("%d", &a[i]);
|
||||||
|
sort(a + 1, a + m + 1);
|
||||||
|
int tot = 1;
|
||||||
|
f[1][0] = 1, f[1][1] = 2, f[1][2] = 1;
|
||||||
|
for (int i = 1; i < n; ++i)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (i == a[tot])
|
||||||
|
{
|
||||||
|
tot++;
|
||||||
|
f[i + 1][0] = f[i][0];
|
||||||
|
f[i + 1][1] = (f[i][0] * 2 + f[i][1]) % mod;
|
||||||
|
f[i + 1][2] = (f[i][0] + f[i][1] + f[i][2]) % mod;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
else
|
||||||
|
{
|
||||||
|
f[i + 1][0] = (f[i][0] + f[i][2]) % mod;
|
||||||
|
f[i + 1][1] = (f[i][0] * 2 + f[i][1] + 2 * f[i][2]) % mod;
|
||||||
|
f[i + 1][2] = (f[i][0] + f[i][1] + f[i][2] * 2) % mod;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
printf("%lld\n", f[n][2]);
|
||||||
|
return 0;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
```
|
||||||
|
|
||||||
|
## 90 pts O(m log n)
|
||||||
|
|
||||||
|
注意到一个区间内需要多次转移，非常浪费。可以考虑使用矩阵快速幂优化。
|
||||||
|
|
||||||
|
对于非标记点，转移矩阵为：
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
T=\begin{bmatrix}
|
||||||
|
1&0&1\\
|
||||||
|
2&1&2\\
|
||||||
|
1&1&2
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
对于标记点：
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
T=\begin{bmatrix}
|
||||||
|
1&0&0\\
|
||||||
|
2&1&0\\
|
||||||
|
1&1&1
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
初始位置矩阵为：
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
T=\begin{bmatrix}
|
||||||
|
1\\
|
||||||
|
2\\
|
||||||
|
1
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
矩阵快速幂代码可参考[P1962](https://luogu.com.cn/problem/P1962)
|
||||||
|
|
||||||
|
```cpp
|
||||||
|
#include <bits/stdc++.h>
|
||||||
|
using namespace std;
|
||||||
|
const long long MOD = 1000000007LL;
|
||||||
|
struct Mat {
|
||||||
|
long long a[105][105];
|
||||||
|
int n, m;
|
||||||
|
Mat(int _n = 0, int _m = 0) : n(_n), m(_m) {
|
||||||
|
memset(a, 0, sizeof(a));
|
||||||
|
}
|
||||||
|
void operator*=(const Mat &b) {
|
||||||
|
if (m != b.n) {
|
||||||
|
exit(-1);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
long long res[105][105] = {};
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j) {
|
||||||
|
for (int k = 1; k <= m; ++k) {
|
||||||
|
res[i][j] = (res[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % MOD;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j) {
|
||||||
|
a[i][j] = res[i][j];
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
m = b.m;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
};
|
||||||
|
|
||||||
|
Mat qpow(Mat a, long long k) {
|
||||||
|
Mat res(a.n, a.n);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= a.n; ++i) {
|
||||||
|
res.a[i][i] = 1;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
while (k) {
|
||||||
|
if (k & 1) res *= a;
|
||||||
|
a *= a;
|
||||||
|
k >>= 1;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
return res;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
int main() {
|
||||||
|
long long n;
|
||||||
|
scanf("%lld", &n);
|
||||||
|
|
||||||
|
if (n <= 2) {
|
||||||
|
printf("1\n");
|
||||||
|
return 0;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
Mat base1(1, 2), base2(2, 2);
|
||||||
|
|
||||||
|
base1.a[1][1] = 1;
|
||||||
|
base1.a[1][2] = 1;
|
||||||
|
base2.a[1][1] = 1;
|
||||||
|
base2.a[1][2] = 1;
|
||||||
|
base2.a[2][1] = 1;
|
||||||
|
base2.a[2][2] = 0;
|
||||||
|
base2 = qpow(base2, n - 2);
|
||||||
|
base1 *= base2;
|
||||||
|
printf("%lld\n", base1.a[1][1]);
|
||||||
|
return 0;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
```
|
||||||
|
|
||||||
|
最终程序：
|
||||||
|
|
||||||
|
```cpp
|
||||||
|
#include <bits/stdc++.h>
|
||||||
|
using namespace std;
|
||||||
|
const int mod = 1e9 + 7;
|
||||||
|
int n, m;
|
||||||
|
int a[100005];
|
||||||
|
const long long fir[4][2] = {{0, 0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 1}};
|
||||||
|
const long long yes[4][4] = {{0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 2, 1, 0}, {0, 1, 1, 1}};
|
||||||
|
const long long no[4][4] = {{0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 1}, {0, 2, 1, 2}, {0, 1, 1, 2}};
|
||||||
|
struct Mat
|
||||||
|
{
|
||||||
|
long long a[5][5] = {};
|
||||||
|
int n, m;
|
||||||
|
Mat(int _n = 0, int _m = 0, int cpy = 0) : n(_n), m(_m)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (cpy == 1)
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
|
||||||
|
a[i][1] = fir[i][1];
|
||||||
|
else if (cpy == 2)
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= 3; ++j)
|
||||||
|
a[i][j] = yes[i][j];
|
||||||
|
else if (cpy == 3)
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= 3; ++j)
|
||||||
|
a[i][j] = no[i][j];
|
||||||
|
}
|
||||||
|
void operator*=(const Mat &b)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (m != b.n)
|
||||||
|
exit(-1);
|
||||||
|
long long res[5][5] = {};
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j)
|
||||||
|
for (int k = 1; k <= m; ++k)
|
||||||
|
res[i][j] = (res[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j)
|
||||||
|
a[i][j] = res[i][j];
|
||||||
|
m = b.m;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
Mat operator*(const Mat &b)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (m != b.n)
|
||||||
|
exit(-1);
|
||||||
|
Mat res(n, b.m);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= n; ++i)
|
||||||
|
for (int j = 1; j <= b.m; ++j)
|
||||||
|
for (int k = 1; k <= m; ++k)
|
||||||
|
res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
|
||||||
|
return res;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
};
|
||||||
|
|
||||||
|
Mat qpow(Mat a, long long k)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
Mat res(a.n, a.n);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= a.n; ++i)
|
||||||
|
res.a[i][i] = 1;
|
||||||
|
while (k)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
if (k & 1)
|
||||||
|
res *= a;
|
||||||
|
a *= a;
|
||||||
|
k >>= 1;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
return res;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
Mat yess(3, 3, 2);
|
||||||
|
Mat noo(3, 3, 3);
|
||||||
|
|
||||||
|
int main()
|
||||||
|
{
|
||||||
|
scanf("%d%d", &n, &m);
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= m; ++i)
|
||||||
|
scanf("%d", &a[i]);
|
||||||
|
Mat now(3, 1, 1);
|
||||||
|
int pos = 1;
|
||||||
|
for (int i = 1; i <= m; ++i)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
int x = a[i];
|
||||||
|
if (x < pos)
|
||||||
|
continue;
|
||||||
|
if (x > pos)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
now = qpow(noo, x - pos) * now;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
{
|
||||||
|
now = yess * now;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
pos = x + 1;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
if (n - pos > 0)
|
||||||
|
{
|
||||||
|
now = qpow(noo, n - pos) * now;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
printf("%lld\n", now.a[3][1]);
|
||||||
|
return 0;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
```
|
||||||
Reference in New Issue
Block a user