diff --git a/P16055.cpp b/P16055.cpp new file mode 100644 index 0000000..91fd97a --- /dev/null +++ b/P16055.cpp @@ -0,0 +1,54 @@ +#include +using namespace std; +int n, m; +vector> o; +double st1[200005][21], st2[200005][21]; +int main() { + scanf("%d%d", &n, &m); + o.push_back({0, 0}); + for (int i = 1; i <= n; ++i) { + int op; + double k; + scanf("%d%lf", &op, &k); + o.push_back({op, k}); + if (op == 1) { + st1[i][0] = k; + st2[i][0] = 0; + + } else { + st1[i][0] = cos(k); + st2[i][0] = sin(k); + } + } + for (int i = 1; i <= 20; i++) { + for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) { + double tmp11 = st1[j][i - 1], tmp12 = st2[j][i - 1]; + double tmp21 = st1[j + (1 << (i - 1))][i - 1], + tmp22 = st2[j + (1 << (i - 1))][i - 1]; + st1[j][i] = tmp11 * tmp21 - tmp12 * tmp22; + st2[j][i] = tmp11 * tmp22 + tmp12 * tmp21; + } + } + while (m--) { + int l, r, x, y; + scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &x, &y); + double nx = x, ny = y; + r++; + for (int i = 20; i >= 0; i--) { + if (l + (1 << i) <= r) { + double tmpx = st1[l][i] * nx - st2[l][i] * ny, + tmpy = st2[l][i] * nx + st1[l][i] * ny; + nx = tmpx, ny = tmpy; + l += 1 << i; + } + } + printf("%f %f\n", nx, ny); + } + return 0; +} +/* +k1 -k2 +k2 k1 + + +*/ \ No newline at end of file diff --git a/P16055.md b/P16055.md new file mode 100644 index 0000000..c493499 --- /dev/null +++ b/P16055.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# P16055 [CSPro 31] 坐标变换（其二） + +## 题目背景 + +洛谷的测试数据仅供民间交流使用，非官方测试数据。官方评测链接：。 + +## 题目描述 + +对于平面直角坐标系上的坐标 $(x, y)$，小 P 定义了如下两种操作： + +1. 拉伸 $k$ 倍：横坐标 $x$ 变为 $kx$，纵坐标 $y$ 变为 $ky$； +2. 旋转 $\theta$：将坐标 $(x, y)$ 绕坐标原点 $(0, 0)$ **逆时针**旋转 $\theta$ 弧度（$0 \le \theta < 2\pi$）。易知旋转后的横坐标为 $x \cos \theta - y \sin \theta$，纵坐标为 $x \sin \theta + y \cos \theta$。 + +设定好了包含 $n$ 个操作的序列 $(t_1, t_2, \cdots, t_n)$ 后，小 P 又定义了如下查询： + +- `i j x y`：坐标 $(x, y)$ 经过操作 $t_i, \cdots, t_j$（$1 \le i \le j \le n$）后的新坐标。 + +对于给定的操作序列，试计算 $m$ 个查询的结果。 + +## 输入格式 + +从标准输入读入数据。 + +输入共 $n + m + 1$ 行。 + +输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $m$，分别表示操作和查询个数。 + +接下来 $n$ 行依次输入 $n$ 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数（$k$ 或 $\theta$），形如 `1 k`（表示拉伸 $k$ 倍）或 `2 θ`（表示旋转 $\theta$）。 + +接下来 $m$ 行依次输入 $m$ 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 $i、j、x$ 和 $y$，含义如前文所述。 + +## 输出格式 + +输出到标准输出。 + +输出共 $m$ 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。 + +## 输入输出样例 #1 + +### 输入 #1 + +``` +10 5 +2 0.59 +2 4.956 +1 0.997 +1 1.364 +1 1.242 +1 0.82 +2 2.824 +1 0.716 +2 0.178 +2 4.094 +1 6 -953188 -946637 +1 9 969538 848081 +4 7 -114758 522223 +1 9 -535079 601597 +8 8 159430 -511187 +``` + +### 输出 #1 + +``` +-1858706.758 -83259.993 +-1261428.46 201113.678 +-75099.123 -738950.159 +-119179.897 -789457.532 +114151.88 -366009.892 +``` + +## 说明/提示 + +### 样例解释 + +第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 $0.716$ 倍。 + +横坐标：$159430 \times 0.716 = 114151.88$ + +纵坐标：$-511187 \times 0.716 = -366009.892$ + +由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。 + +### 子任务 + +- $80\%$ 的测试数据满足：$n, m \le 1000$； +- 全部的测试数据满足： + - $n, m \le 10^5$； + - 输入的坐标均为整数且绝对值不超过 $10^6$； + - 单个拉伸操作的系数 $k \in [0.5, 2]$； + - 任意操作区间 $t_i, \cdots, t_j$（$1 \le i \le j \le n$）内拉伸系数 $k$ 的乘积在 $[0.001, 1000]$ 范围内。 + +### 评分方式 + +如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 $0.1$，则该测试点满分，否则不得分。 + +### 提示 + +- C/C++：建议使用 `double` 类型存储浮点数，并使用 `scanf("%lf", &x);` 进行输入，`printf("%f", x);` 输出，也可以使用 `cin` 和 `cout` 输入输出浮点数；`#include ` 后可使用三角函数 `cos()` 和 `sin()`。 +- Python：直接使用 `print(x)` 即可输出浮点数 `x`；`from math import cos, sin` 后可使用相应三角函数。 +- Java：建议使用 `double` 类型存储浮点数，可以使用 `System.out.print(x);` 进行输出；可使用 `Math.cos()` 和 `Math.sin()` 调用三角函数。 \ No newline at end of file diff --git a/solutions/P16055.md b/solutions/P16055.md new file mode 100644 index 0000000..14ea833 --- /dev/null +++ b/solutions/P16055.md @@ -0,0 +1,124 @@ +# P16055 [CSPro 31] 坐标变换（其二） 题解 + +这篇题解主要针对不懂得矩阵乘法的人。主要思想： + +视每次操作为： + +$$ +newx = x * k1 - y * k2\\ +newy = x * k2 + y * k1\\ +x = newx, y = newy +$$ + +其中： + +- 操作为 $1$ 时，$k1 = k, k2 = 0$。 +- 操作为 $2$ 时，$k1 = \cos(\theta), k2 = \sin(\theta)$。 + +## 80 pts 暴力 + +注意到 $80%$ 的测试点满足 $n, m \le 1000$，此时最大执行次数为 $1000 \times 1000 = 10^6$，可以获得此部分分。 + +::::info[[80 pts 代码](https://www.luogu.com.cn/record/303033043)] + +```cpp +#include +using namespace std; +int n, m; +vector> o; +double k1[100005], k2[100005]; +int main() { + scanf("%d%d", &n, &m); + o.push_back({0, 0}); + for (int i = 1; i <= n; ++i) { + int op; + double k; + scanf("%d%lf", &op, &k); + o.push_back({op, k}); + if (op == 2) { + k1[i] = cos(k); + k2[i] = sin(k); + } else { + k1[i] = k; + k2[i] = 0; + } + } + for (int i = 1; i <= m; ++i) { + int l, r, x, y; + scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &x, &y); + double nx = x, ny = y; + for (int j = l; j <= r; ++j) { + if (o[j].first == 1) + nx *= o[j].second, ny *= o[j].second; + else { + double tmpx = nx * k1[j] - ny * k2[j], + tmpy = nx * k2[j] + ny * k1[j]; + nx = tmpx, ny = tmpy; + } + } + printf("%f %f\n", nx, ny); + } + return 0; +} +``` + +:::: + +## 100 pts st 表 + +注意到连续一段的操作可以由各部分操作叠加，可使用 st 表解决。 + +::::info[[100pts 代码](https://www.luogu.com.cn/record/303042049)] + +```cpp +#include +using namespace std; +int n, m; +vector> o; +double st1[200005][21], st2[200005][21]; +int main() { + scanf("%d%d", &n, &m); + o.push_back({0, 0}); + for (int i = 1; i <= n; ++i) { + int op; + double k; + scanf("%d%lf", &op, &k); + o.push_back({op, k}); + if (op == 1) { + st1[i][0] = k; + st2[i][0] = 0; + + } else { + st1[i][0] = cos(k); + st2[i][0] = sin(k); + } + } + for (int i = 1; i <= 20; i++) { + for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) { + double tmp11 = st1[j][i - 1], tmp12 = st2[j][i - 1]; + double tmp21 = st1[j + (1 << (i - 1))][i - 1], + tmp22 = st2[j + (1 << (i - 1))][i - 1]; + st1[j][i] = tmp11 * tmp21 - tmp12 * tmp22; + st2[j][i] = tmp11 * tmp22 + tmp12 * tmp21; + } + } + while (m--) { + int l, r, x, y; + scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &x, &y); + double nx = x, ny = y; + r++; + for (int i = 20; i >= 0; i--) { + if (l + (1 << i) <= r) { + double tmpx = st1[l][i] * nx - st2[l][i] * ny, + tmpy = st2[l][i] * nx + st1[l][i] * ny; + nx = tmpx, ny = tmpy; + l += 1 << i; + } + } + printf("%f %f\n", nx, ny); + } + return 0; +} +``` + +::::