From ff4abd4b89efcece69b709359d1b36d3d38edf73 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: hanyixuanten <105723997+hanyixuanten@users.noreply.github.com> Date: Sat, 11 Jul 2026 22:59:56 +0800 Subject: [PATCH] new file: P17089.cpp new file: P17089.md --- P17089.cpp | 55 ++++++++++++++ P17089.md | 208 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 263 insertions(+) create mode 100644 P17089.cpp create mode 100644 P17089.md diff --git a/P17089.cpp b/P17089.cpp new file mode 100644 index 0000000..fdc0c51 --- /dev/null +++ b/P17089.cpp @@ -0,0 +1,55 @@ +#include +using namespace std; +int n, s; +struct wx +{ + int w, x; + inline const bool operator<(const wx a) const + { + return w > a.w; + } +} ball[505]; +set f[505]; // 有j的体力时，当前最优方案中球的最终落点 +long long ans[505]; // 有j的体力时，当前最优方案的坐标和 +/* +f[0][*]=0; +f[*][0]=0; +f[i][j]=max(f[i-1][j-a[i]]+w[i],f[i-1][j]); +*/ +int main() +{ + scanf("%d %d", &n, &s); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + scanf("%d", &ball[i].w); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + scanf("%d", &ball[i].x); + sort(ball + 1, ball + n + 1); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + { + for (int j = s; j >= ball[i].x; --j) + { + int tmp = ball[i].w; + for (int k : f[j - ball[i].x]) + { + if (k == tmp) + ++tmp; + } + if (ans[j - ball[i].x] + tmp > ans[j]) + { + ans[j] = ans[j - ball[i].x] + tmp; + f[j] = f[j - ball[i].x]; + f[j].insert(tmp); + } + } + for (int j = 1; j <= s; ++j) + { + if (ans[j - 1] > ans[j]) + { + ans[j] = ans[j - 1]; + f[j] = f[j - 1]; + } + } + } + printf("%lld\n", ans[s]); + return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/P17089.md b/P17089.md new file mode 100644 index 0000000..e796bf4 --- /dev/null +++ b/P17089.md @@ -0,0 +1,208 @@ +# P17089 掷出重围 题解 + +## 题意分析 + +题目中有 $n$ 个球，每个球有两个属性： + +- $w_i$：这个球被精准投掷后的初始落点。 +- $x_i$：投掷这个球需要消耗的体力。 + +小 ζ 的总体力为 $s$，所以他不能随便把所有球都投出去，而是要从这些球中选择一部分，使得选中球的体力消耗总和不超过 $s$。 + +与普通背包不同，球的最终位置并不一定等于 $w_i$，如果一个球落在位置 $p$，而位置 $p$ 已经有球了，那么它会继续向前滚到 $p + 1, p + 2, \dots$，直到第一个没有球的位置。 + +因为小 ζ 可以任意决定投掷顺序，所以同一批被选择的球，不同投掷顺序可能会导致不同的最终位置分配。题目要求的是，在所有合法选择和投掷顺序中，使所有投出球的最终位置坐标之和最大。 + +## 10pts + +仿照普通背包，设 $ans[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 个球、体力不超过 $j$ 时，最终位置坐标和的最大值。 + +由于一个球落地后可能会继续向前滚，只记录最大和还不够，还需要知道当前方案已经占用了哪些位置。于是再使用一个 `set` 维护当前状态下已存在的球的位置： + +```cpp +set f[505][505]; +long long ans[505][505]; +``` + +其中 $f[i][j]$ 存储这个状态下所有球的最终停靠位置。 + +转移状态 $(i, j)$ 时，需要比较以下三种情况： + +- 体力不超过 $j - 1$ 的最优方案，即状态 $(i, j - 1)$； +- 不选择第 $i$ 个球，即状态 $(i - 1, j)$； +- 选择第 $i$ 个球：若 $j \ge x_i$，从 $f[i - 1][j - x_i]$ 中的占用位置出发，找到从 $w_i$ 开始的第一个空位置 $tmp$。此时答案为 $ans[i - 1][j - x_i] + tmp$。 + +取三种情况中坐标和最大的方案，并同步保存其占用位置集合。 + +完整代码： + +```cpp +#include +using namespace std; +int n, s; +struct wx +{ + int w, x; + inline const bool operator<(const wx a) const + { + return w > a.w; + } +} ball[505]; +set f[505][505]; // 表示前i个球、有j的体力最远可扔的球的落地位置 +long long ans[505][505]; // 球位置的和（可能超出int） +int main() +{ + scanf("%d %d", &n, &s); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + scanf("%d", &ball[i].w); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + scanf("%d", &ball[i].x); + sort(ball + 1, ball + n + 1); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + { + for (int j = 1; j <= s; ++j) + { + if (ans[i][j - 1] > ans[i - 1][j]) + { + ans[i][j] = ans[i][j - 1]; + f[i][j] = f[i][j - 1]; + } + else + { + ans[i][j] = ans[i - 1][j]; + f[i][j] = f[i - 1][j]; + } + if (j >= ball[i].x) + { + int tmp = ball[i].w; + for (int k : f[i - 1][j - ball[i].x]) + { + if (k == tmp) + ++tmp; + } + if (ans[i - 1][j - ball[i].x] + tmp > ans[i][j]) + { + ans[i][j] = ans[i - 1][j - ball[i].x] + tmp; + f[i][j] = f[i - 1][j - ball[i].x]; + f[i][j].insert(tmp); + } + } + } + } + printf("%lld\n", ans[n][s]); + return 0; +} +``` + +提交，喜提10ptsMLE + +![提交记录](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/msubiito.png) + +这个做法最大的问题是空间太大。 + +$n, s \le 500$，二维状态有大约 $500 \times 500 = 250000$ 个。每个状态还存一个 `set`，而每个 `set` 里面又可能有很多位置。 + +所以空间复杂度接近： + +$$ O(n^2s) $$ + +而且 `set` 本身还有较大的常数开销，实际运行时非常容易内存爆炸。 + +## 优化 + +注意到背包转移中，第 $i$ 个球只会从上一轮状态转移过来，因此可以使用滚动数组。 + +把： + +```cpp +set f[505][505]; +long long ans[505][505]; +``` + +改成： + +```cpp +set f[505]; +long long ans[505]; +``` + +其中 $f[j]$ 表示当前处理到某个球时，体力不超过 $j$ 的最优方案所占用的位置集合。 + +选择当前球时，需要倒序枚举体力： + +```cpp +for (int j = s; j >= ball[i].x; --j) +``` + +这样可以保证每个球只被选一次。 + +## 最终思路 + +对于每个球，倒序枚举体力 $j$： + +1. 从状态 $j - x_i$ 转移过来。 +2. 在该状态的占用位置集合中，从 $w_i$ 开始找第一个空位置 $tmp$。 +3. 如果选择当前球后答案更优，就更新 $ans[j]$ 和 $f[j]$。 + +每轮处理完一个球后，再由小到大枚举 $j = 1 \dots s$，若 $ans[j - 1]$ 更优，则用 $ans[j - 1]$ 更新 $ans[j]$。 + +## 复杂度分析 + +滚动数组中有 $O(s)$ 个状态，每个状态保存一个最多含 $O(n)$ 个位置的 `set`，因此空间复杂度为 $O(ns)$。 + +每次转移需要遍历一个 `set` 寻找落点，并且在更新时复制该 `set`，两者最坏均为 $O(n)$。一共有 $O(ns)$ 次转移，因此时间复杂度为 $O(n^2 s)$。 + +## AC代码 + +```cpp +#include +using namespace std; +int n, s; +struct wx +{ + int w, x; + inline const bool operator<(const wx a) const + { + return w > a.w; + } +} ball[505]; +set f[505]; // 有j的体力时，当前最优方案中球的最终落点 +long long ans[505]; // 有j的体力时，当前最优方案的坐标和 +int main() +{ + scanf("%d %d", &n, &s); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + scanf("%d", &ball[i].w); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + scanf("%d", &ball[i].x); + sort(ball + 1, ball + n + 1); + for (int i = 1; i <= n; ++i) + { + for (int j = s; j >= ball[i].x; --j) + { + int tmp = ball[i].w; + for (int k : f[j - ball[i].x]) + { + if (k == tmp) + ++tmp; + } + if (ans[j - ball[i].x] + tmp > ans[j]) + { + ans[j] = ans[j - ball[i].x] + tmp; + f[j] = f[j - ball[i].x]; + f[j].insert(tmp); + } + } + for (int j = 1; j <= s; ++j) + { + if (ans[j - 1] > ans[j]) + { + ans[j] = ans[j - 1]; + f[j] = f[j - 1]; + } + } + } + printf("%lld\n", ans[s]); + return 0; +} +```