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# 数据结构
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- [数据结构](#数据结构)
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- [单调队列](#单调队列)
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- [单调队列引入](#单调队列引入)
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- [引入问题滑动窗口](#引入问题滑动窗口)
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- [单调队列例题](#单调队列例题)
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- [P1714 切蛋糕](#p1714-切蛋糕)
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- [P1714题解](#p1714题解)
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- [单调栈](#单调栈)
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- [并查集](#并查集)
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- [并查集基础](#并查集基础)
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- [并查集查询](#并查集查询)
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- [并查集合并](#并查集合并)
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- [带权并查集](#带权并查集)
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- [带权并查集例题](#带权并查集例题)
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- [P2024 NOI2001食物链](#p2024-noi2001食物链)
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- [P2024题解](#p2024题解)
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- [可撤销并查集](#可撤销并查集)
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- [并查集例题](#并查集例题)
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- [并查集例题1](#并查集例题1)
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- [并查集例题1题解](#并查集例题1题解)
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- [并查集例题2](#并查集例题2)
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- [并查集例题2题解](#并查集例题2题解)
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- [并查集例题3](#并查集例题3)
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- [并查集例题3题解](#并查集例题3题解)
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- [堆](#堆)
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- [线段树](#线段树)
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- [树状数组](#树状数组)
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- [Trie](#trie)
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## 单调队列
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### 单调队列引入
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#### 引入问题滑动窗口
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> 如果有人比你小还比你强，那你就没有任何用了 —— noip
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有 $n$ 个 oier ，每个 oier 有成绩和考试，保证给定数据中 oier 的出生年份单调，求每 $k$ 个年份时这 $n$ 个 oier 的最大成绩。
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伪代码：
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```cpp
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deque<pair<int,int>> q; // 成绩，年份
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while(!q.empty() && newgrade>q.back()) q.pop_back;
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q.push_back(newgrade,newyear);
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while(q.front().second要退役){
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q.pop_front();
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}
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最大值q.front().first
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```
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时间复杂度 $O(n)$ （均摊复杂度，可能某次while执行很久，可能某次很快）
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### 单调队列例题
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#### P1714 切蛋糕
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[题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P1714)
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有一个长方形的蛋糕，被不同的色彩分成了 $N$ 个相同的小块，每个小块有着对应的幸运值。
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小 Z 作为寿星，希望吃到的蛋糕的幸运值最大，但是他最多只能吃 $M (M \le N)$
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你需要在这 $N$ 小块蛋糕中找出连续的几块，使得其上总幸运值最大。
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形式化地，在数列 ${p_n}$ 中，找出一个长度小于 $M$ 的子段 $[l, r]$，最大化 $\sum^{r}_{i - l} {p_i}$
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$1 \le n \le 5 \times 10^5$
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##### P1714题解
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## 单调栈
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## 并查集
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### 并查集基础
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基础操作：合并、查询
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#### 并查集查询
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对于给定的 $a$，沿着树向上移动知道根节点即可
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在合并的过程中的每个节点都属于这个集合，所以将父亲节点直接设为根即可。
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#### 并查集合并
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合并两个集合时，可以将一个集合的根节点设为另一个集合的根节点。
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为了防止退化，可以将节点较少或深度较小的一棵树连接到令一颗上。
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### 带权并查集
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我们可以在并查集的边上维护某种值，在路径压缩时产生运算。
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#### 带权并查集例题
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##### P2024 NOI2001食物链
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[题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P2024)
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动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。
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现有 $N$ 个动物，以 $1 \sim N$ 编号。每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
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有人用两种说法对这 $N$ 个动物所构成的食物链关系进行描述：
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- 第一种说法是 `1 X Y`，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。
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- 第二种说法是`2 X Y`，表示 $X$ 吃 $Y$。
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此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
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- 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
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- 当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；
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- 当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。
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你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。
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###### P2024题解
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考虑维护带权并查集，对每次给定的话进行查询与合并。
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具体的，对于并查集中的每两个节点，使用 $0$ 表示互为同类， $1$ 表示父亲吃儿子， $2$ 表示儿子吃父亲。
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对于每句话 `1/2 X Y`，查询 $X, Y$ 之间的关系，若无冲突便合并即可，注意路径压缩时的运算。
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### 可撤销并查集
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对于一开始相互独立的 $n$ 个点，维护以下两种操作共 $q$ 次：
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1. 给定 $a, b$ 两个点，判断是否在同一个联通块中，如不在则在 $a, b$ 间连边。
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2. 撤销最后的若干次操作 $1$
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要求复杂度 $O(q \log n)$
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考虑用栈记录最近操作 $fa_x \leftarrow y$ ，每次撤销弹出栈顶，并将 $fa_x \leftarrow x$
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因为要保证可逆，所以不能路径压缩，只能启发式合并。
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### 并查集例题
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#### 并查集例题1
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有 $n$ 个点，初始时均为孤立点。
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接下来有 $m$ 次连边操作，第 $i$ 次在 $a_i, b_i$ 之间连一条边。
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接下来有 $q$ 次询问，每次询问两个点在第几次加边操作联通。
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$1 \le n, m, q \le 10^5$
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##### 并查集例题1题解
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考虑对于每一次合并的 $a_i, b_i$，若两个点不联通，则在另外一颗树中连接 $a_i, b_i$，边权为 $i$。
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每次查询就是在令一颗树中找到 $u, v$ 路径上边权最大值，可以使用树上倍增维护。
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#### 并查集例题2
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有一个长度为 $n$ 的 $01$ 序列 $a_1, \dots, a_n$，一开始全是 $0$。接下来进行如下 $m$ 次操作：
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- $a_x \leftarrow 1$
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- 输出 $\min\{x \in [l,r], a_x = 0\}$
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$1 \le n, m \le 10^6$
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##### 并查集例题2题解
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建立并查集，使得 $i$ 所在联通块的根节点为 $i$ 后面第一次出现 $0$ 的位置，初始 $f_i = i$
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对于每一次 $a_x \leftarrow 1$，如果 $a_x$ 原先不为 $1$，则令 $f_x = f_{x - 1}$
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每次查询输出 $x$ 的祖先。
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#### 并查集例题3
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给定一颗 $n$ 个节点的树，接下来有 $m$ 次操作：
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- 加一条 $a_i$ 到 $b_i$ 的边。
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- 询问两个点之间是否存在至少两条**边不相交**的路径。
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**边不相交：指的是两个路径没有公共边。**
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$1 \le n, m \le 10^6$
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##### 并查集例题3题解
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前置知识：[强联通分量](../树上问题，图论/树上问题，图论.md#强联通分量)
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## 堆
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## 线段树
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## 树状数组
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## Trie
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