new file: CF1614D2.cpp

CF1614D2.cpp

@@ -0,0 +1,45 @@
+#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+int n;
+const int maxa = 20000000;
+vector<int> prime;
+bool vis[20000005];
+int cnt[20000005];
+long long f[20000005];
+int a[100005];
+int main() {
+    for (int i = 2; i <= 20000000; ++i) {
+        if (!vis[i]) prime.push_back(i);
+        for (int p : prime) {
+            if (1ll * i * p > maxa) break;
+            vis[i * p] = true;
+            if (i % p == 0) break;
+        }
+    }
+    scanf("%d", &n);
+    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
+        scanf("%d", &a[i]);
+    }
+    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
+        for(int j = 1; j * j <= a[i]; ++j) {
+            if(a[i] % j == 0) {
+                cnt[j]++;
+                if(j * j != a[i]) ++cnt[a[i] / j]; 
+            }
+        }
+    }
+    for(int i = maxa; i >= 1; --i) {
+        f[i] = 1ll * i * cnt[i];
+        for(int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] <= maxa; ++j) {
+            f[i] = max(f[i], f[i * prime[j]] + 1ll * i * (cnt[i] - cnt[i * prime[j]]));
+        }
+    }
+    long long ans = 0;
+    for(int i = 1; i <= maxa; ++i) {
+        if(cnt[i] == n) {
+            ans = max(ans, f[i]);
+        }
+    }
+    printf("%lld\n", ans);
+    return 0;
+}

CF1614D2.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+# CF1614D2 Divan and Kostomuksha (hard version)
+
+## 题目描述
+
+这是该问题的困难版本。唯一的区别在于 $a_i$ 的最大值。
+
+在 Kostomuksha，Divan 发现了一个由正整数组成的数组 $a$。现在他想要重新排列 $a$ 的元素，使下列函数的值最大：
+$$ \sum_{i=1}^n \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_i), $$
+其中 $\operatorname{gcd}(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ 表示整数 $x_1, x_2, \ldots, x_k$ 的[最大公约数](https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor)，且对于任意整数 $x$，有 $\operatorname{gcd}(x) = x$。
+
+重新排列数组元素意味着可以任意改变数组中元素的顺序，也可以保持初始顺序不变。
+
+当然，Divan 能解决这个问题。但他觉得这个问题很有趣，所以决定把它分享给你。
+
+## 输入格式
+
+第一行包含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 10^5$）——数组 $a$ 的大小。
+
+第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n$（$1 \le a_i \le 2 \cdot 10^7$）——数组 $a$。
+
+## 输出格式
+
+输出通过重新排列数组 $a$ 后可以获得的该函数的最大值。
+
+## 输入输出样例 #1
+
+### 输入 #1
+
+```
+6
+2 3 1 2 6 2
+```
+
+### 输出 #1
+
+```
+14
+```
+
+## 输入输出样例 #2
+
+### 输入 #2
+
+```
+10
+5 7 10 3 1 10 100 3 42 54
+```
+
+### 输出 #2
+
+```
+131
+```
+
+## 说明/提示
+
+在第一个样例中，最优的排列方式是 $[6,\, 2,\, 2,\, 2,\, 3,\, 1]$：
+
+$\operatorname{gcd}(a_1) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5,\, a_6) = 6 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 14$。
+
+可以证明无法得到更优的答案。
+
+在第二个样例中，最优的排列方式是 $[100,\, 10,\, 10,\, 5,\, 1,\, 3,\, 3,\, 7,\, 42,\, 54]$。
+
+由 ChatGPT 4.1 翻译