new file: P15569.cpp

P15569.cpp

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+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+const int mod = 1e9 + 7;
+int n, k;
+namespace mat {
+struct Mat {
+    long long a[3][3];
+    int n, m;
+    Mat(int _n = 0, int _m = 0) : n(_n), m(_m) { memset(a, 0, sizeof(a)); }
+    void operator*=(const Mat &b) {
+        if (m != b.n) {
+            exit(-1);
+        }
+        long long res[105][105] = {};
+        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+            for (int j = 1; j <= b.m; ++j) {
+                for (int k = 1; k <= m; ++k) {
+                    res[i][j] = (res[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
+                }
+            }
+        }
+        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+            for (int j = 1; j <= b.m; ++j) {
+                a[i][j] = res[i][j];
+            }
+        }
+        m = b.m;
+    }
+};
+Mat qpow(Mat a, long long k) {
+    Mat res(a.n, a.n);
+    for (int i = 1; i <= a.n; ++i) {
+        res.a[i][i] = 1;
+    }
+    while (k) {
+        if (k & 1)
+            res *= a;
+        a *= a;
+        k >>= 1;
+    }
+    return res;
+}
+long long f(int n) {
+    if (n <= 1) {
+        return 1;
+    }
+    Mat base1(1, 2), base2(2, 2);
+    base1.a[1][1] = 1;
+    base1.a[1][2] = 1;
+    base2.a[1][1] = 1;
+    base2.a[1][2] = 1;
+    base2.a[2][1] = 1;
+    base2.a[2][2] = 0;
+    base2 = mat::qpow(base2, n - 1);
+    base1 *= base2;
+    return base1.a[1][1];
+}
+} // namespace mat
+long long qpow(long long a, long long b) {
+    a %= mod;
+    long long res = 1;
+    while (b) {
+        if (b & 1)
+            res = (res * a) % mod;
+        a = (a * a) % mod;
+        b >>= 1;
+    }
+    return res;
+}
+long long ni(int a) { return qpow(a, mod - 2); }
+int main() {
+    scanf("%d%d", &n, &k);
+    if (k < n) {
+        printf("0\n");
+        return 0;
+    }
+    long long all = qpow(k, n);
+    long long correct = mat::f(n);
+    printf("%lld\n", (correct * ni(all)) % mod);
+    // printf("%lld\n", mat::f(n + 1));
+    return 0;
+}
+/*
+排列
+0 <= ai + i - n <= 2
+n - i <= ai <= 2 + n - i
+只能取 n - i, n - i + 1, n - i + 2 三种
+*/

P15569.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+# P15569 [COCI 2025/2026 #5] 结构 / Struktura
+
+## 题目背景
+
+本题满分 $110$。
+
+## 题目描述
+
+Petar 和 Ivana 在漫长的冬日下午感到无聊，于是发明了一个数字游戏。
+
+Petar 在纸上随机写下 $n$ 个数，每个数都**独立地、等概率地**从 $1$ 到 $k$ 之间选择，形成数组 $a$。
+
+Ivana 说她特别喜欢某些数组，因为它们有一种“隐藏的平衡”，她称这种数组为**结构（structure）**。当且仅当满足以下条件时，数组 $a$ 是结构：
+
+- 整数 $1,2,\dots,n$ 在数组中各出现恰好一次。
+- 对每个下标 $i$（$1 \le i \le n$），都有 $|a_i + i - n - 1| \le 1$。
+
+Ivana 想知道：Petar 完全随机生成数组 $a$ 时，得到结构的概率是多少。
+
+可以证明答案总能表示为分数 $\dfrac{P}{Q}$，其中 $P$ 为整数，$Q$ 为正整数且不被 $10^9+7$ 整除。
+
+## 输入格式
+
+输入一行两个自然数 $n,k$（$1 \le n,k \le 10^9$）。
+
+## 输出格式
+
+输出一个整数，表示所求概率在模 $10^9+7$ 意义下的值。
+
+## 输入输出样例 #1
+
+### 输入 #1
+
+```
+2 1
+```
+
+### 输出 #1
+
+```
+0
+```
+
+## 输入输出样例 #2
+
+### 输入 #2
+
+```
+2 2
+```
+
+### 输出 #2
+
+```
+500000004
+```
+
+## 输入输出样例 #3
+
+### 输入 #3
+
+```
+7 94
+```
+
+### 输出 #3
+
+```
+100976822
+```
+
+## 说明/提示
+
+#### 【样例解释】
+
+样例 #2 解释：
+
+Petar 可能写出的数组共有 $2^2=4$ 个：$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$。其中结构是 $(1,2)$ 与 $(2,1)$，概率为 $\dfrac{2}{4}$，因此输出 $2 \cdot 4^{-1} \bmod (10^9+7)=500000004$。
+
+#### 【子任务】
+
+| 子任务 | 分值 | 限制 |
+| :----: | :--: | :--: |
+|  $1$   | $17$ | $n,k \le 7$ |
+|  $2$   | $23$ | $n \le 7$，$k \le 100$ |
+|  $3$   | $19$ | $n \le 20$，$k \le 100$ |
+|  $4$   | $25$ | $n,k \le 10^6$ |
+|  $5$   | $26$ | 无额外限制 |