new file: P15569.cpp

P15569.md

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+# P15569 [COCI 2025/2026 #5] 结构 / Struktura
+
+## 题目背景
+
+本题满分 $110$。
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+## 题目描述
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+Petar 和 Ivana 在漫长的冬日下午感到无聊，于是发明了一个数字游戏。
+
+Petar 在纸上随机写下 $n$ 个数，每个数都**独立地、等概率地**从 $1$ 到 $k$ 之间选择，形成数组 $a$。
+
+Ivana 说她特别喜欢某些数组，因为它们有一种“隐藏的平衡”，她称这种数组为**结构（structure）**。当且仅当满足以下条件时，数组 $a$ 是结构：
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+- 整数 $1,2,\dots,n$ 在数组中各出现恰好一次。
+- 对每个下标 $i$（$1 \le i \le n$），都有 $|a_i + i - n - 1| \le 1$。
+
+Ivana 想知道：Petar 完全随机生成数组 $a$ 时，得到结构的概率是多少。
+
+可以证明答案总能表示为分数 $\dfrac{P}{Q}$，其中 $P$ 为整数，$Q$ 为正整数且不被 $10^9+7$ 整除。
+
+## 输入格式
+
+输入一行两个自然数 $n,k$（$1 \le n,k \le 10^9$）。
+
+## 输出格式
+
+输出一个整数，表示所求概率在模 $10^9+7$ 意义下的值。
+
+## 输入输出样例 #1
+
+### 输入 #1
+
+```
+2 1
+```
+
+### 输出 #1
+
+```
+0
+```
+
+## 输入输出样例 #2
+
+### 输入 #2
+
+```
+2 2
+```
+
+### 输出 #2
+
+```
+500000004
+```
+
+## 输入输出样例 #3
+
+### 输入 #3
+
+```
+7 94
+```
+
+### 输出 #3
+
+```
+100976822
+```
+
+## 说明/提示
+
+#### 【样例解释】
+
+样例 #2 解释：
+
+Petar 可能写出的数组共有 $2^2=4$ 个：$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$。其中结构是 $(1,2)$ 与 $(2,1)$，概率为 $\dfrac{2}{4}$，因此输出 $2 \cdot 4^{-1} \bmod (10^9+7)=500000004$。
+
+#### 【子任务】
+
+| 子任务 | 分值 | 限制 |
+| :----: | :--: | :--: |
+|  $1$   | $17$ | $n,k \le 7$ |
+|  $2$   | $23$ | $n \le 7$，$k \le 100$ |
+|  $3$   | $19$ | $n \le 20$，$k \le 100$ |
+|  $4$   | $25$ | $n,k \le 10^6$ |
+|  $5$   | $26$ | 无额外限制 |