new file: P16055.cpp

P16055.cpp

@@ -0,0 +1,54 @@
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+int n, m;
+vector<pair<int, double>> o;
+double st1[200005][21], st2[200005][21];
+int main() {
+    scanf("%d%d", &n, &m);
+    o.push_back({0, 0});
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+        int op;
+        double k;
+        scanf("%d%lf", &op, &k);
+        o.push_back({op, k});
+        if (op == 1) {
+            st1[i][0] = k;
+            st2[i][0] = 0;
+
+        } else {
+            st1[i][0] = cos(k);
+            st2[i][0] = sin(k);
+        }
+    }
+    for (int i = 1; i <= 20; i++) {
+        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
+            double tmp11 = st1[j][i - 1], tmp12 = st2[j][i - 1];
+            double tmp21 = st1[j + (1 << (i - 1))][i - 1],
+                tmp22 = st2[j + (1 << (i - 1))][i - 1];
+            st1[j][i] = tmp11 * tmp21 - tmp12 * tmp22;
+            st2[j][i] = tmp11 * tmp22 + tmp12 * tmp21;
+        }
+    }
+    while (m--) {
+        int l, r, x, y;
+        scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &x, &y);
+        double nx = x, ny = y;
+        r++;
+        for (int i = 20; i >= 0; i--) {
+            if (l + (1 << i) <= r) {
+                double tmpx = st1[l][i] * nx - st2[l][i] * ny,
+                       tmpy = st2[l][i] * nx + st1[l][i] * ny;
+                nx = tmpx, ny = tmpy;
+                l += 1 << i;
+            }
+        }
+        printf("%f %f\n", nx, ny);
+    }
+    return 0;
+}
+/*
+k1 -k2
+k2 k1
+
+
+*/

P16055.md

@@ -0,0 +1,100 @@
+# P16055 [CSPro 31] 坐标变换（其二）
+
+## 题目背景
+
+洛谷的测试数据仅供民间交流使用，非官方测试数据。官方评测链接：<https://www.cspro.org/>。
+
+## 题目描述
+
+对于平面直角坐标系上的坐标 $(x, y)$，小 P 定义了如下两种操作：
+
+1. 拉伸 $k$ 倍：横坐标 $x$ 变为 $kx$，纵坐标 $y$ 变为 $ky$；
+2. 旋转 $\theta$：将坐标 $(x, y)$ 绕坐标原点 $(0, 0)$ **逆时针**旋转 $\theta$ 弧度（$0 \le \theta < 2\pi$）。易知旋转后的横坐标为 $x \cos \theta - y \sin \theta$，纵坐标为 $x \sin \theta + y \cos \theta$。
+
+设定好了包含 $n$ 个操作的序列 $(t_1, t_2, \cdots, t_n)$ 后，小 P 又定义了如下查询：
+
+- `i j x y`：坐标 $(x, y)$ 经过操作 $t_i, \cdots, t_j$（$1 \le i \le j \le n$）后的新坐标。
+
+对于给定的操作序列，试计算 $m$ 个查询的结果。
+
+## 输入格式
+
+从标准输入读入数据。
+
+输入共 $n + m + 1$ 行。
+
+输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $m$，分别表示操作和查询个数。
+
+接下来 $n$ 行依次输入 $n$ 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数（$k$ 或 $\theta$），形如 `1 k`（表示拉伸 $k$ 倍）或 `2 θ`（表示旋转 $\theta$）。
+
+接下来 $m$ 行依次输入 $m$ 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 $i、j、x$ 和 $y$，含义如前文所述。
+
+## 输出格式
+
+输出到标准输出。
+
+输出共 $m$ 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。
+
+## 输入输出样例 #1
+
+### 输入 #1
+
+```
+10 5
+2 0.59
+2 4.956
+1 0.997
+1 1.364
+1 1.242
+1 0.82
+2 2.824
+1 0.716
+2 0.178
+2 4.094
+1 6 -953188 -946637
+1 9 969538 848081
+4 7 -114758 522223
+1 9 -535079 601597
+8 8 159430 -511187
+```
+
+### 输出 #1
+
+```
+-1858706.758 -83259.993
+-1261428.46 201113.678
+-75099.123 -738950.159
+-119179.897 -789457.532
+114151.88 -366009.892
+```
+
+## 说明/提示
+
+### 样例解释
+
+第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 $0.716$ 倍。
+
+横坐标：$159430 \times 0.716 = 114151.88$
+
+纵坐标：$-511187 \times 0.716 = -366009.892$
+
+由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。
+
+### 子任务
+
+- $80\%$ 的测试数据满足：$n, m \le 1000$；
+- 全部的测试数据满足：
+  - $n, m \le 10^5$；
+  - 输入的坐标均为整数且绝对值不超过 $10^6$；
+  - 单个拉伸操作的系数 $k \in [0.5, 2]$；
+  - 任意操作区间 $t_i, \cdots, t_j$（$1 \le i \le j \le n$）内拉伸系数 $k$ 的乘积在 $[0.001, 1000]$ 范围内。
+
+### 评分方式
+
+如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 $0.1$，则该测试点满分，否则不得分。
+
+### 提示
+
+- C/C++：建议使用 `double` 类型存储浮点数，并使用 `scanf("%lf", &x);` 进行输入，`printf("%f", x);` 输出，也可以使用 `cin` 和 `cout` 输入输出浮点数；`#include <math.h>` 后可使用三角函数 `cos()` 和 `sin()`。
+- Python：直接使用 `print(x)` 即可输出浮点数 `x`；`from math import cos, sin` 后可使用相应三角函数。
+- Java：建议使用 `double` 类型存储浮点数，可以使用 `System.out.print(x);` 进行输出；可使用 `Math.cos()` 和 `Math.sin()` 调用三角函数。

solutions/P16055.md

@@ -0,0 +1,124 @@
+# P16055 [CSPro 31] 坐标变换（其二） 题解
+
+这篇题解主要针对不懂得矩阵乘法的人。主要思想：
+
+视每次操作为：
+
+$$
+newx = x * k1 - y * k2\\
+newy = x * k2 + y * k1\\
+x = newx, y = newy
+$$
+
+其中：
+
+- 操作为 $1$ 时，$k1 = k, k2 = 0$。
+- 操作为 $2$ 时，$k1 = \cos(\theta), k2 = \sin(\theta)$。
+
+## 80 pts 暴力
+
+注意到 $80%$ 的测试点满足 $n, m \le 1000$，此时最大执行次数为 $1000 \times 1000 = 10^6$，可以获得此部分分。
+
+::::info[[80 pts 代码](https://www.luogu.com.cn/record/303033043)]
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+int n, m;
+vector<pair<int, double>> o;
+double k1[100005], k2[100005];
+int main() {
+    scanf("%d%d", &n, &m);
+    o.push_back({0, 0});
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+        int op;
+        double k;
+        scanf("%d%lf", &op, &k);
+        o.push_back({op, k});
+        if (op == 2) {
+            k1[i] = cos(k);
+            k2[i] = sin(k);
+        } else {
+            k1[i] = k;
+            k2[i] = 0;
+        }
+    }
+    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
+        int l, r, x, y;
+        scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &x, &y);
+        double nx = x, ny = y;
+        for (int j = l; j <= r; ++j) {
+            if (o[j].first == 1)
+                nx *= o[j].second, ny *= o[j].second;
+            else {
+                double tmpx = nx * k1[j] - ny * k2[j],
+                       tmpy = nx * k2[j] + ny * k1[j];
+                nx = tmpx, ny = tmpy;
+            }
+        }
+        printf("%f %f\n", nx, ny);
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+::::
+
+## 100 pts st 表
+
+注意到连续一段的操作可以由各部分操作叠加，可使用 st 表解决。
+
+::::info[[100pts 代码](https://www.luogu.com.cn/record/303042049)]
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+int n, m;
+vector<pair<int, double>> o;
+double st1[200005][21], st2[200005][21];
+int main() {
+    scanf("%d%d", &n, &m);
+    o.push_back({0, 0});
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+        int op;
+        double k;
+        scanf("%d%lf", &op, &k);
+        o.push_back({op, k});
+        if (op == 1) {
+            st1[i][0] = k;
+            st2[i][0] = 0;
+
+        } else {
+            st1[i][0] = cos(k);
+            st2[i][0] = sin(k);
+        }
+    }
+    for (int i = 1; i <= 20; i++) {
+        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
+            double tmp11 = st1[j][i - 1], tmp12 = st2[j][i - 1];
+            double tmp21 = st1[j + (1 << (i - 1))][i - 1],
+                tmp22 = st2[j + (1 << (i - 1))][i - 1];
+            st1[j][i] = tmp11 * tmp21 - tmp12 * tmp22;
+            st2[j][i] = tmp11 * tmp22 + tmp12 * tmp21;
+        }
+    }
+    while (m--) {
+        int l, r, x, y;
+        scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &x, &y);
+        double nx = x, ny = y;
+        r++;
+        for (int i = 20; i >= 0; i--) {
+            if (l + (1 << i) <= r) {
+                double tmpx = st1[l][i] * nx - st2[l][i] * ny,
+                       tmpy = st2[l][i] * nx + st1[l][i] * ny;
+                nx = tmpx, ny = tmpy;
+                l += 1 << i;
+            }
+        }
+        printf("%f %f\n", nx, ny);
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+::::