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# P16060 [CSPro 24] 序列查询新解
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## 题目背景
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洛谷的测试数据仅供民间交流使用，非官方测试数据。官方评测链接：<https://www.cspro.org/>。
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## 题目描述
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上一题“序列查询”中说道：$A = [A_0, A_1, A_2, \cdots, A_n]$ 是一个由 $n + 1$ 个 $[0, N)$ 范围内整数组成的序列，满足 $0 = A_0 < A_1 < A_2 < \cdots < A_n < N$。基于序列 $A$，对于 $[0, N)$ 范围内任意的整数 $x$，查询 $f(x)$ 定义为：序列 $A$ 中**小于等于** $x$ 的整数里**最大的数的下标**。
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对于给定的序列 $A$ 和整数 $x$，查询 $f(x)$ 是一个很经典的问题，可以使用二分搜索在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内轻松解决。但在 IT 部门讨论如何实现这一功能时，小 P 同学提出了些新的想法。
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小 P 同学认为，如果事先知道了序列 $A$ 中整数的分布情况，就能直接估计出其中小于等于 $x$ 的最大整数的大致位置。接着从这一估计位置开始线性查找，锁定 $f(x)$。如果估计得足够准确，线性查找的时间开销可能比二分查找算法更小。
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比如说，如果 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 均匀分布在 $(0, N)$ 的区间，那么就可以估算出：
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$$
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\begin{aligned}
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f(x) \approx \frac{(n + 1) \cdot x}{N}
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\end{aligned}
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$$
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为了方便计算，小 P 首先定义了比例系数 $r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor$，其中 $\lfloor \rfloor$ 表示下取整，即 $r$ 等于 $N$ 除以 $n + 1$ 的商。进一步地，小 P 用 $g(x) = \lfloor \frac{x}{r} \rfloor$ 表示自己估算出的 $f(x)$ 的大小，这里同样使用了下取整来保证 $g(x)$ 是一个整数。
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显然，对于任意的询问 $x \in [0, N)$，$g(x)$ 和 $f(x)$ 越接近则说明小 P 的估计越准确，后续进行线性查找的时间开销也越小。因此，小 P 用两者差的绝对值 $|g(x) - f(x)|$ 来表示处理询问 $x$ 时的误差。
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为了整体评估小 P 同学提出的方法在序列 $A$ 上的表现，试计算：
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$$
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\begin{aligned}
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error(A) = \sum_{i=0}^{N-1} |g(i) - f(i)| = |g(0) - f(0)| + \cdots + |g(N - 1) - f(N - 1)|
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\end{aligned}
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$$
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## 输入格式
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从标准输入读入数据。
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输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $N$。
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输入的第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数 $A_1, A_2, \cdots, A_n$。
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注意 $A_0$ 固定为 $0$，因此输入数据中不包括 $A_0$。
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## 输出格式
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输出到标准输出。
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仅输出一个整数，表示 $error(A)$ 的值。
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## 输入输出样例 #1
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### 输入 #1
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```
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3 10
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2 5 8
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```
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### 输出 #1
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```
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5
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```
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## 输入输出样例 #2
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### 输入 #2
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```
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9 10
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
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```
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### 输出 #2
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```
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0
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```
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## 输入输出样例 #3
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### 输入 #3
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```
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2 10
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1 3
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```
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### 输出 #3
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```
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6
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```
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## 说明/提示
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### 样例1解释
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$A = [0, 2, 5, 8]$
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$r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor = \lfloor \frac{10}{3+1} \rfloor = 2$
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| $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
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| $f(i)$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
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| $g(i)$ | ^ | ^ | ^ | ^ | 2 | ^ | 3 | 3 | 4 | 4 |
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| $\|g(i) - f(i)\|$ | ^ | ^ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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注：表格中空白单元格表示该行在该列无对应值（或为省略），实际计算时按需填充。根据题意，$g(i)$ 和 $|g(i)-f(i)|$ 应对所有 $i=0$ 到 $9$ 有定义，此处按原图结构保留空格，但完整计算应补全：
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- $g(0) = \lfloor 0/2 \rfloor = 0$, $|0-0|=0$
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- $g(1) = \lfloor 1/2 \rfloor = 0$, $|0-0|=0$
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- $g(2) = \lfloor 2/2 \rfloor = 1$, $|1-1|=0$
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- $g(3) = \lfloor 3/2 \rfloor = 1$, $|1-1|=0$
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- $g(4) = \lfloor 4/2 \rfloor = 2$, $|2-1|=1$
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- $g(5) = \lfloor 5/2 \rfloor = 2$, $|2-2|=0$
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- $g(6) = \lfloor 6/2 \rfloor = 3$, $|3-2|=1$
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- $g(7) = \lfloor 7/2 \rfloor = 3$, $|3-2|=1$
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- $g(8) = \lfloor 8/2 \rfloor = 4$, $|4-3|=1$
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- $g(9) = \lfloor 9/2 \rfloor = 4$, $|4-3|=1$
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因此总和为：$0+0+0+0+1+0+1+1+1+1 = 5$
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即 $error(A) = 5$
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### 样例 3 解释
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$A = [0, 1, 3]$
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$r = \lfloor \frac{N}{n+1} \rfloor = \lfloor \frac{10}{2+1} \rfloor = 3$
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| $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
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| $f(i)$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
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| $g(i)$ | ^ | ^ | ^ | ^ | 2 | ^ | 3 | 3 | 4 | 4 |
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| $\|g(i) - f(i)\|$ | ^ | ^ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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### 子任务
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$70\%$ 的测试数据满足 $1 \leq n \leq 200$ 且 $n < N \leq 1000$；
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全部的测试数据满足 $1 \leq n \leq 10^5$ 且 $n < N \leq 10^9$。
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### 提示
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需要注意，输入数据 $[A_1 \cdots A_n]$ 并不一定均匀分布在 $(0, N)$ 区间，因此总误差 $error(A)$ 可能很大。 |