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P15569 [COCI 2025/2026 #5] 结构 / Struktura

题目背景

本题满分 $110$。

题目描述

Petar 和 Ivana 在漫长的冬日下午感到无聊，于是发明了一个数字游戏。

Petar 在纸上随机写下 n 个数，每个数都独立地、等概率地从 1 到 k 之间选择，形成数组 $a$。

Ivana 说她特别喜欢某些数组，因为它们有一种“隐藏的平衡”，她称这种数组为结构（structure）。当且仅当满足以下条件时，数组 a 是结构：

• 整数 1,2,\dots,n 在数组中各出现恰好一次。
• 对每个下标 $i$（$1 \le i \le n$），都有 $|a_i + i - n - 1| \le 1$。

Ivana 想知道：Petar 完全随机生成数组 a 时，得到结构的概率是多少。

可以证明答案总能表示为分数 $\dfrac{P}{Q}$，其中 P 为整数，Q 为正整数且不被 10^9+7 整除。

输入格式

输入一行两个自然数 $n,k$（$1 \le n,k \le 10^9$）。

输出格式

输出一个整数，表示所求概率在模 10^9+7 意义下的值。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 1

输出 #1

0

输入输出样例 #2

输入 #2

2 2

输出 #2

500000004

输入输出样例 #3

输入 #3

7 94

输出 #3

100976822

说明/提示

【样例解释】

样例 #2 解释：

Petar 可能写出的数组共有 2^2=4 个：$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$。其中结构是 (1,2) 与 $(2,1)$，概率为 $\dfrac{2}{4}$，因此输出 $2 \cdot 4^{-1} \bmod (10^9+7)=500000004$。

【子任务】

子任务	分值	限制
1	17	n,k \le 7
2	23	$n \le 7$，k \le 100
3	19	$n \le 20$，k \le 100
4	25	n,k \le 10^6
5	26	无额外限制