CF1614D2 Divan and Kostomuksha (hard version)

题目描述

这是该问题的困难版本。唯一的区别在于 a_i 的最大值。

在 Kostomuksha，Divan 发现了一个由正整数组成的数组 $a$。现在他想要重新排列 a 的元素，使下列函数的值最大：

\sum_{i=1}^n \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_i),

其中 \operatorname{gcd}(x_1, x_2, \ldots, x_k) 表示整数 x_1, x_2, \ldots, x_k 的最大公约数，且对于任意整数 $x$，有 $\operatorname{gcd}(x) = x$。

重新排列数组元素意味着可以任意改变数组中元素的顺序，也可以保持初始顺序不变。

当然，Divan 能解决这个问题。但他觉得这个问题很有趣，所以决定把它分享给你。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 10^5$）——数组 a 的大小。

第二行包含 n 个整数 $a_1,, a_2,, \dots,, a_n$（$1 \le a_i \le 2 \cdot 10^7$）——数组 $a$。

输出格式

输出通过重新排列数组 a 后可以获得的该函数的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
2 3 1 2 6 2

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

10
5 7 10 3 1 10 100 3 42 54

输出 #2

说明/提示

在第一个样例中，最优的排列方式是 $[6,, 2,, 2,, 2,, 3,, 1]$：

$\operatorname{gcd}(a_1) + \operatorname{gcd}(a_1,, a_2) + \operatorname{gcd}(a_1,, a_2,, a_3) + \operatorname{gcd}(a_1,, a_2,, a_3,, a_4) + \operatorname{gcd}(a_1,, a_2,, a_3,, a_4,, a_5) + \operatorname{gcd}(a_1,, a_2,, a_3,, a_4,, a_5,, a_6) = 6 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 14$。

可以证明无法得到更优的答案。

在第二个样例中，最优的排列方式是 $[100,, 10,, 10,, 5,, 1,, 3,, 3,, 7,, 42,, 54]$。

由 ChatGPT 4.1 翻译

1.9 KiB Raw Blame History Unescape Escape