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P13366 [GCJ 2011 #1A] The Killer Word 题解

参考了 官方pdf题解

思路

如果对于每一张字母表、每一个单词都单独模拟 Hangman，复杂度会达到 $O(N^2M)$，无法通过大数据。

关键观察是：

• 游戏开始时，Sean 只能根据单词长度判断候选单词，因此不同长度的单词互不影响。
• 当 Sean 猜测一个字母时，当前候选集合中的单词会根据该字母出现的位置得到不同反馈。
• 得到相同反馈的单词在之后仍然无法区分，因此可以继续放在同一个候选组中。
• 如果某个候选组中没有单词包含当前字母，Sean 会跳过该字母，候选组不发生变化。
• 如果候选组中存在单词包含当前字母，Sean 会猜这个字母。此时不包含该字母的单词所在分支会让 Sean 失去 1 分。

因此，不必为每个目标单词分别模拟游戏，而是同时维护所有单词的候选集合。

状态表示

对于每个长度，初始时将所有该长度的单词放入同一个候选组。

一个候选组表示：

在已经猜过的字母及其反馈下，Sean 仍然无法区分的所有单词。

对于某个字母，使用一个二进制表示它在单词中出现的位置。

例如：

• 单词 banana
• 字母 a
• a 出现在第 1,3,5 位（下标从 0 开始）

则对应二进制为：

0101010_2

两个单词对于当前字母得到相同编码，当且仅当 Sean 从黑板上看到的反馈相同，因此它们应被分到同一个新候选组中。

转移过程

对于一张字母表 L：

1. 按单词长度初始化候选组。
2. 按 L 中的顺序枚举每个字母。
3. 对每个当前候选组：
   • 若组内只剩一个单词，Sean 已经确定答案，不再需要处理该组。
   • 计算组内每个单词对当前字母的出现位置二进制表示。
   • 若所有二进制表示均为 $0$，说明没有候选单词包含该字母，Sean 会跳过该字母，候选组保持不变。
   • 否则，Sean 会猜该字母：
     • 二进制为 0 的单词不含该字母，对这些单词的失分加一；
     • 按二进制表示将原候选组拆分为多个新候选组。
4. 所有字母处理结束后，选择失分最多的单词。
5. 若失分相同，保留字典中下标较小的单词即可满足题目的平局规则。

复杂度分析

单词长度最大为 $10$，字母表长度固定为 $26$。

对于每一张字母表，每个单词最多参与 26 次分组，每次计算位置二进制表示需要 $O(10)$。

因此总时间复杂度为：

O(M \times 26 \times N \times 10)=O(NM)